Question

20．若函数f（x）=x²+mx+n（m，n∈R）在[-1，1]上存在零点，且0≤n-2m＜1，则n的取值范围是[-3，9-$4\sqrt{5}$]．

Answer 1

分析 把函数f（x）=x²+mx+n（m，n∈R）在[-1，1]上存在零点转化为f（-1）f（1）≤0或$\left\{\begin{array}{l}{△={m}^{2}-4n≥0}\\{-1≤\frac{m}{2}≤1}\\{f（-1）≥0，f（1）≥0}\end{array}\right.$，整理后结合0≤n-2m＜1作出可行域，数形结合得答案．

解答 解：由题意，f（-1）f（1）≤0或$\left\{\begin{array}{l}{△={m}^{2}-4n≥0}\\{-1≤\frac{m}{2}≤1}\\{f（-1）≥0，f（1）≥0}\end{array}\right.$．
即（n-m+1）（m+n+1）≤0或$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}-4n≥0}\\{-2≤m≤2}\\{n-m+1≥0}\\{m+n+1≥0}\end{array}\right.$．
联立$\left\{\begin{array}{l}{n-2m=1}\\{n-m+1=0}\end{array}\right.$，解得A（-3，-2），
联立$\left\{\begin{array}{l}{n-2m=1}\\{{m}^{2}=4n}\\{m＜0}\end{array}\right.$，解得B（9-4$\sqrt{5}$，4-2$\sqrt{5}$），
作出可行域OCAB，
由图可知，n的取值范围是[-3，9-$4\sqrt{5}$]．
故答案为：[-3，9-$4\sqrt{5}$]．

点评 本题考查函数零点判定定理，考查数学转化思想方法和数形结合的解题思想方法，是中档题．