Question

3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sin²B-sin²A=sin²C-sinAsinC．
（Ⅰ）求角B的值；
（Ⅱ）若△ABC的面积为$\sqrt{3}$，求a+c取得最小值时b的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）运用正弦定理化角为边，再由余弦定理可得角B；
（Ⅱ）由三角形面积公式可得ab=4，由余弦定理，基本不等式即可得解b的值．

解答 （本题满分为12分）
解：（Ⅰ）由正弦定理可得，sin²A+sin²C-sinAsinC=sin²B即为a²+c²-ac=b²，
由余弦定理可得cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{ac}{2ac}$=$\frac{1}{2}$，
由0＜B＜π，
则B=$\frac{π}{3}$；
（Ⅱ）由已知S=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{\sqrt{3}}{4}$ac=$\sqrt{3}$，所以ac=4，…（8分）
可得：a+c≥2$\sqrt{ac}$=4，即a+c的最小值为4，当且仅当a=c=2时等号成立，
此时，由余弦定理b²=a²+c²-2accosB=2²+2²-2×$2×2×\frac{1}{2}$=4，…（10分）
∴b=2．…（12分）

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理及基本不等式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．