Question

7．已知函数f（x）=$\frac{1}{3}{x^3}-\frac{1}{2}a{x^2}$+1，a≠0．
（I）当a=1时，求f（x）的单调区间；
（II）设x₀＞$\frac{a}{2}$，求函数g（x）=f（x）-f（x₀）-（x-x₀）f′（x₀）在区间$（\frac{a}{2}，+∞）$的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（Ⅱ）求出函数的导数，求出函数的单调区间，从而求出函数的最小值即可．

解答 解：由已知得：f′（x）=x²-ax，a≠0，
（Ⅰ）a=1时，f′（x）=x²-x=x（x-1），
由f′（x）＞0，解得：x＞1或x＜0，
由f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，
故f（x）在（-∞，0），（1+∞）递增，在（0，1）递减；
（Ⅱ）g′（x）=f′（x）-f′（x₀）=x²-ax-${{x}_{0}}^{2}$+ax₀=（x-x₀）（x+x₀-a），
x∈（$\frac{a}{2}$，+∞）时，x+x₀-a＞$\frac{a}{2}$+x₀-a＞$\frac{a}{2}$+$\frac{a}{2}$-a=0，
若x∈（$\frac{a}{2}$，x₀），g′（x）＜0，g（x）递减，
若x∈（x₀，+∞），g′（x）＞0，g（x）递增，
故g（x）在（$\frac{a}{2}$，+∞）的最小值是：
g（x₀）=f（x₀）-f（x₀）-（x₀-x₀）f′（x₀）=0．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．