Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率与等轴双曲线的离心率互为倒数，直线l：x-y+

2

=0与以原点为圆心，以椭圆C的短半轴长为半径的圆相切．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设M是椭圆的上顶点，过点M分别作直线MA，MB交椭圆于A，B两点，设两直线的斜率分别为k₁，k₂，且k₁+k₂=2，证明：直线AB过定点（-1，-1）．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知条件得到e=

2

2

，b=

2

2

=1，由此能求出椭圆C的方程．
（2）当直线AB的斜率不存在时，设A（x₀，y₀），则B（x₀，-y₀），由已知条件推导出x₀=-1；当直线AB的斜率存在时，设AB的方程为y=kx+b（b≠1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

x2 2 +y2=1 y=kx+b

，得（1+2k²）x²+4kbx+2b²-2=0，利用韦达定理结合已知条件能证明直线AB过定点（-1，-1）．

解答： （1）解：∵椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率与等轴双曲线的离心率互为倒数，
∴e=

2

2

，
∵直线l：x-y+

2

=0与以原点为圆心，以椭圆C的短半轴长为半径的圆相切，
∴b=

2

2

=1…..（2分）
∴

c

a

=

2

2

，a2-c2=1，解得a=

2

…（4分）
∴椭圆C的方程为

x

2

2+y2=1…（5分）
（2）证明：当直线AB的斜率不存在时，
设A（x₀，y₀），则B（x₀，-y₀），
由k₁+k₂=2得

y0-1

x 0

+

-y0-1

x 0

=2，解得x₀=-1…．（7分）
当直线AB的斜率存在时，
设AB的方程为y=kx+b（b≠1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），

x2 2 +y2=1 y=kx+b

，整理，得：（1+2k²）x²+4kbx+2b²-2=0，
∴x1+x2=

-4kb

1+2k2

，x1•x2=

2b2-2

1+2k2

…．（9分）
∵k₁+k₂=2，∴

y1-1

x1

+

y2-2

x2

=2，
∴

(kx2+b-1)+(kx1+b-1)x2

x1x2

=2，
即(2-2k)x2x1=(b-1)(x2+x1)⇒(2-2k)(2b2-2)=(b-1)(-4kb)
由b≠1，（1-k）（b+1）=-kb，得k=b+1，…..（11分）
即y=kx+b=（b+1）x+b，∴b（x+1）=y-x
∴直线AB过定点（-1，-1）．…..（13分）

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查直线过定点的证明，解题时要认真审题，注意分类讨论思想、函数方程思想的合理运用．