Question

已知A，B是抛物线W：y=x²上的两个点，点A的坐标为（1，1），直线AB的斜率为k（k＞0）．设抛物线W的焦点在直线AB的下方．
（Ⅰ）求k的取值范围；
（Ⅱ）设C为W上一点，且AB⊥AC，过B，C两点分别作W的切线，记两切线的交点为D．判断四边形ABDC是否为梯形，并说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：

分析：（Ⅰ）求出抛物线y=x²的焦点，得直线AB的方程为y-1=k（x-1），求出直线AB与y轴相交于点（0，1-k），利用抛物线W的焦点在直线AB的下方，即可求k的取值范围；
（Ⅱ）利用反证法，假设四边形ABDC为梯形，求出B、C处的切线斜率，分类讨论，建立方程，即可得出结论．

解答： （Ⅰ）解：抛物线y=x²的焦点为（0，

1

4

）．…（1分）
由题意，得直线AB的方程为y-1=k（x-1），…（2分）
令x=0，得y=1-k，即直线AB与y轴相交于点（0，1-k）．…（3分）
∵抛物线W的焦点在直线AB的下方，
∴1-k＞

1

4

，
解得k＜

3

4

．…（5分）
∵k＞0，
∴0＜k＜

3

4

．…（5分）
（Ⅱ）解：结论：四边形ABDC不可能为梯形．…（6分）
理由如下：
假设四边形ABDC为梯形．…（7分）
由题意，设B（x₁，x₁²），C（x₂，x₂²），D（x₃，y₃），
联立方程

y-1=k(x-1) y=x2

消去y，得x²-kx+k-1=0，
由韦达定理，得1+x₁=k，∴x₁=k-1．…（8分）
同理，得x₂=-

1

k

-1．…（9分）
对函数y=x²求导，得y′=2x，
∴抛物线y=x²在点B处的切线BD的斜率为2x₁=2k-2，…（10分）
抛物线y=x²在点C处的切线CD的斜率为2x₂=-

2

k

-2．…（11分）
由四边形ABDC为梯形，得AB∥CD或AC∥BD．
若AB∥CD，则k=-

2

k

-2，即k²+2k+2=0，
∵方程k²+2k+2=0无解，∴AB与CD不平行．…（12分）
若AC∥BD，则-

1

k

=2k-2，即2k²-2k+1=0，
∵方程2k²-2k+1=0无解，∴AC与BD不平行．…（13分）
∴四边形ABDC不是梯形，与假设矛盾．
同理AD∥BC也不成立，
因此四边形ABDC不可能为梯形．…（14分）

点评：本题考查抛物线的定义与方程，考查抛物线的切线方程，考查学生的计算能力，考查反证法，属于中档题．