Question

8．已知函数f（x）=|2x-a|+|x-1|，a∈R．
（Ⅰ）若不等式f（x）≥2-|x-1|恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）当a=1时，直线y=m与函数f（x）的图象围成三角形，求m的最大值及此时围成的三角形的面积．

Answer 1

分析 （I）利用绝对值三角不等式得出|x-$\frac{a}{2}$|+|x-1|的最小值，从而解出a的范围；
（II）做出f（x）的函数图象，根据函数图象得出m的范围．

解答 解：（I）∵f（x）≥2-|x-1|恒成立，即|x-$\frac{a}{2}$|+|x-1|≥1恒成立，
又|x-$\frac{a}{2}$|+|x-1|≥|x-$\frac{a}{2}$-（x-1）|=|1-$\frac{a}{2}$|，
∴|1-$\frac{a}{2}$|≥1，解得a≤0或a≥4．
∴a的取值范围是（-∞，0]∪[4，+∞）．
（II）当a=1时，f（x）=|2x-1|+|x-1|=$\left\{\begin{array}{l}{2-3x，x≤\frac{1}{2}}\\{x，\frac{1}{2}＜x＜1}\\{3x-2，x≥1}\end{array}\right.$，
做出f（x）的函数图象如图所示：

由图象可知当$\frac{1}{2}$＜m≤1时，直线y=m与f（x）的图象构成三角形．
∴m的最大值为1，
令2-3x=1得x=$\frac{1}{3}$，此时围成三角形的面积为$\frac{1}{2}×$（1-$\frac{1}{3}$）×（1-$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{6}$．

点评 本题考查了绝对值不等式的解法，分段函数的函数图象，属于中档题．