Question

9．如图，等边三角形ABC内接于圆O，以B、C为切点的圆O的两条切线交于点D，AD交圆O于点E．
（Ⅰ）证明：四边形ABDC为菱形；
（Ⅱ）若DE=2，求等边三角形ABC的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由弦切角定理可得∠DBC=∠DCB=∠BAC=60°，△DBC是等边三角形，即可证明四边形ABDC为菱形；
（Ⅱ）由切割线定理求出AB，即可求等边三角形ABC的面积．

解答 （Ⅰ）证明：由弦切角定理可得∠DBC=∠DCB=∠BAC=60°，
∴△DBC是等边三角形
∴四边形ABDC为菱形；
（Ⅱ）解：设AB=2x，则AE=$\frac{4}{\sqrt{3}}$x，
由切割线定理可得DB²=DE•DA，
∴4x²=2（2+$\frac{4}{\sqrt{3}}$x），
∴x=$\sqrt{3}$，
∴AB=2$\sqrt{3}$，
∴等边三角形ABC的面积S=$\frac{\sqrt{3}}{4}×（2\sqrt{3}）^{2}$=3$\sqrt{3}$．

点评 本题考查菱形的证明，考查切割线定理的运用，考查三角形面积的计算，属于中档题．