Question

已知函数f（x）的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），对定义域内任意的x、y都有f（xy）=f（x）+f（y），当x＞1时，f（x）＞0且f（2）=1
（1）判断f（x）奇偶性，并证明你的结论；
（2）求证：f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（3）解不等式：f（x²-1）＜3．

Answer 1

考点：奇偶性与单调性的综合,函数单调性的判断与证明,函数奇偶性的判断

专题：函数的性质及应用

分析：（1）利用赋值法和“f（xy）=f（x）+f（y）”，分别求出f（1）、f（-1）的值，再用同样的方法判断出f（-x）与f（x）的关系即可；
（2）设任意的x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁＜x₂，根据题意可得f(

x2

x1

)＞0，再由x2=

x2

x1

•x1和恒等式得f(x2)-f(x1)=f(

x2

x1

)＞0，利用函数单调性的定义得到结论；
（3）根据f（2）=1和恒等式求出f（4）=3，将不等式转化为f（x²-1）＜f（8），再由偶函数的单调性列出不等式组求出x的范围．

解答： 解：（1）f（x）是偶函数，证明如下：
由题意知，f（xy）=f（x）+f（y）
令x=y=1得f（1）=f（1）+f（1），解得f（1）=0，
令x=y=-1得f（1）=f（-1）+f（-1），解得f（-1）=0，
再令y=-1得，f（-x）=f（x）+f（-1）=f（x）
∴f（x）是偶函数…（4分）
（2）设任意的x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁＜x₂，则

x2

x1

＞1，
当x＞1时，f（x）＞0，所以f(

x2

x1

)＞0
∵f(x2)=f(

x2

x1

•x1)=f(

x2

x1

)+f(x1)
∴f(x2)-f(x1)=f(

x2

x1

)＞0，∴f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在（0，+∞）上是增函数…（8分）
（3）由题意知，f（2）=1，
∴f（4）=f（2×2）=f（2）+f（2）=2f（8）=f（4×2）=f（4）+f（2）=3，
∴不等式f（x²-1）＜3，转化为f（x²-1）＜f（8），
由（1）（2）知，f（x）是偶函数且在（-∞，0）上单调递减，所以在（0，+∞）上单调递增，
∴

-8＜x2-1＜8 x2-1≠0

，解得-3＜x＜3且x≠±1，
∴原不等式的解集为（-3，-1）∪（-1，1）∪（1，3）…（12分）

点评：本题考查了抽象函数的奇偶性与单调性的综合应用，以及定义法证明函数的奇偶性和单调性，主要利用赋值法和恒等式求值，注意需要给x、y恰当值，这样才能利用条件进行求解、证明，考查分析问题、解决问题和能力．