Question

20．椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{6}}{3}$，各个顶点围成的菱形面积为2$\sqrt{3}$．
（1）求C的方程；
（2）过右顶点A的直线l交椭圆C于A，B两点．
①若|AB|=$\frac{4\sqrt{15}}{7}$，求l的方程；
②点P（0，y₀）在线段AB的垂直平分线上，且$\overrightarrow{PA}$$•\overrightarrow{PB}$=3，求y₀．

Answer 1

分析 （1）根据条件列方程组，解出a，b；
（2）①设l斜率为k，与椭圆联立方程组，利用根与系数的关系和弦长公式列方程解出k；
②利用根与系数的关系和中垂线的性质得出B点坐标和AB的中点坐标，用k表示出y₀，根据向量的数量积列方程解出k即可得出y₀．

解答 解：（1）由题意可知$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{6}}{3}}\\{2ab=2\sqrt{3}}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=$\sqrt{3}$，b=1，c=$\sqrt{2}$，
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1$．
（2）①A（$\sqrt{3}$，0），设直线l的方程为y=k（x-$\sqrt{3}$），
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-\sqrt{3}）}\\{\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，消元得：（1+3k²）x²-6$\sqrt{3}$k²x+9k²-3=0，
设B（x₁，y₁），∵x=$\sqrt{3}$是此方程的一个解，∴x₁=$\frac{3\sqrt{3}{k}^{2}-\sqrt{3}}{1+3{k}^{2}}$，
∴|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•（$\sqrt{3}$-x₁）=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\frac{2\sqrt{3}}{1+3{k}^{2}}$=$\frac{4\sqrt{15}}{7}$，解得k²=$\frac{1}{4}$，
∴k=±$\frac{1}{2}$，
∴直线l的方程为y=±$\frac{1}{2}$（x-$\sqrt{3}$）．
②由①知B（$\frac{3\sqrt{3}{k}^{2}-\sqrt{3}}{1+3{k}^{2}}$，$\frac{-2\sqrt{3}k}{1+3{k}^{2}}$），设AB的中点为D，则D（$\frac{3\sqrt{3}{k}^{2}}{1+3{k}^{2}}$，$\frac{-\sqrt{3}k}{1+3{k}^{2}}$），
∴k_PD=$\frac{\frac{-\sqrt{3}k}{1+3{k}^{2}}-{y}_{0}}{\frac{3\sqrt{3}{k}^{2}}{1+3{k}^{2}}}=-\frac{1}{k}$，解得y₀=$\frac{2\sqrt{3}k}{1+3{k}^{2}}$，
∴$\overrightarrow{PA}$=（$\sqrt{3}$，$\frac{-2\sqrt{3}k}{1+3{k}^{2}}$），$\overrightarrow{PB}$=（$\frac{3\sqrt{3}{k}^{2}-\sqrt{3}}{1+3{k}^{2}}$，$\frac{-4\sqrt{3}k}{1+3{k}^{2}}$），
∴$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$=$\frac{9{k}^{2}-3}{1+3{k}^{2}}$+$\frac{24{k}^{2}}{（1+3{k}^{2}）^{2}}$=3，化简得9k⁴+8k²-1=9k⁴+6k²+1，解得k²=1，
∴k=±1，
∴y₀=$\frac{\sqrt{3}}{2}$或y₀=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查了椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系，向量的数量积运算，属于中档题．