Question

如图中的三角形称为希尔宾斯基三角形，我们将第n个三角形中着色的三角形个数记为a_n；把前n个三角形中，着色的三角形个数记为S_n，则S_n=

 

；（答案用n表示）

Answer 1

考点：归纳推理

专题：探究型

分析：根据图形的特点，每增加一个三角形应在原来的基础上再增加3倍个三角形，三角形的个数为：1，3，3×3，3×9…，归纳出第n图形中三角形的个数．先归纳出a_n，然后求出S_n即可．

解答： 解：第1个图形中有1个三角形，即a₁=1．
第2个图形中有3个三角形，即a₂=3．
第3个图形中有3×3个三角形，即a₃=9．
第4个图形中有3×9个三角形，即a₄=27．
以此类推：第n个图形中有a_n=3^n-1个三角形．
即a_n是首项为1，公比q=3的等比数列，
∴S_n=

1(1-3n)

1-3

=

3n-1

2

故答案为：

3n-1

2

．

点评：本题主要考查归纳推理的应用，根据图象的规律归纳出a_n，是解决本题的关键．