Question

等差数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₁=7，a₂为整数，当且仅当n=4时，S_n取得最大值．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=（9-a_n）•2^n-1，求数列{b_n}的前n项和为T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，由于当且仅当n=4时，S_n取得最大值．可得a₄＞0，a₅＜0．解得-

7

3

＜d＜-

7

4

，由于a₂为整数，可得d为整数，即可得出．
（2）b_n=（9-a_n）•2^n-1=n•2ⁿ．利用“错位相减法”、等比数列的前n选和公式即可得出．

解答： 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，
∵当且仅当n=4时，S_n取得最大值．
∴a₄＞0，a₅＜0．
∴

7+3d＞0 7+4d＜0

，解得-

7

3

＜d＜-

7

4

，
∵a₂为整数，∴d为整数，
∴d=-2．
∴a_n=7+（n-1）×（-2）=9-2n．
（2）b_n=（9-a_n）•2^n-1=2n•2^n-1=n•2ⁿ．
∴T_n=1×2+2×2²+3×2³+…+n•2ⁿ，
2T_n=2²+2×2³+3×2⁴+…+（n-1）×2ⁿ+n×2ⁿ⁺¹，
∴-T_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=

2(2n-1)

2-1

-n×2ⁿ⁺¹=（1-n）×2ⁿ⁺¹-2，
∴T_n=（n-1）×2ⁿ⁺¹+2．

点评：本题考查了等差数列的通项公式及其性质、“错位相减法”、等比数列的前n选和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．