Question

在平面直角坐标系xOy中，椭圆上一点到椭圆E的两个焦点距离之和为，椭圆E的离心率为．
（1）求椭圆E的方程；
（2）若b为椭圆E的半短轴长，记C（0，b），直线l经过点C且斜率为2，与直线l平行的直线AB过点（1，0）且交椭圆于A、B两点，求△ABC的面积S的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题设条件，先求出a，b，c的值，然后再求椭圆E的方程．
（2）由题设知点C（0，1），直线L的方程为：y=2x+1，直线AB的方程为：y=2x-2．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），将y=2x-2代入椭圆E的方程，整理可得：13x²-24x+9=0，再由根与系数的关系和点到直线的距离公式能够求出△ABC的面积S的值．
解答：解：（1）由题意，得（2分）
∴（4分）
∴椭圆E的方程为（5分）
（2）由（1）可知点C（0，1），易知直线L的方程为：y=2x+1（6分）
直线AB的方程为：y=2x-2（7分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），将y=2x-2代入椭圆E的方程
整理可得：13x²-24x+9=0，（8分）
则，可得（10分）
故（11分）
设点C（0，1）到直线AB的距离为d，由点到直线的距离公式可得：（13分）
∴△ABC的面积．（14分）
点评：本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要认真审题，注意挖掘条件，合理地运用韦达定理和点到直线的距离公式进行解题．