Question

6．△ABC的三个内角为A，B，C及其三边a，b，c，且A，B，C成等差数列，
（1）若a，b，c成等比数列，求证：△ABC为等边三角形；
（2）用分析法证明：$\frac{1}{a+b}$+$\frac{1}{b+c}$=$\frac{3}{a+b+c}$．

Answer 1

分析 （1）由三内角成等差数列结合三角形内角和定理可B=$\frac{π}{3}$，再由等比数列的性质结合余弦定理求得a=c，则答案得证；
（2）利用分析法逐步找到使结论成立的充分条件即可．

解答 证明：（1）由A，B，C成等差数列，有2B=A+C，①
∵A，B，C为△ABC的三个内角，∴A+B+C=π，②
由①②，得B=$\frac{π}{3}$，③
由a，b，c成等比数列，有b²=ac，④
由余弦定理及③，可得
b²=a²+c²-2accosB=a²+c²-ac，
再由④，得a²+c²-ac=ac，即（a-c）²=0，∴a=c，
从而A=C，⑤
由②③⑤，得A=B=C=$\frac{π}{3}$．
∴△ABC为等边三角形；
（2）欲证：$\frac{1}{a+b}$+$\frac{1}{b+c}$=$\frac{3}{a+b+c}$，
需证$\frac{a+b+c}{a+b}+\frac{a+b+c}{b+c}=3$，
即$\frac{c}{a+b}+\frac{a}{b+c}=1$，
即只需证$\frac{bc+{c}^{2}+{a}^{2}+ab}{ab+{b}^{2}+ac+bc}=1$，
由已知得A+C=2B，∴B=60°，b²=a²+c²-ac，
∴$\frac{bc+{c}^{2}+{a}^{2}+ab}{ab+{b}^{2}+ac+bc}=\frac{bc+{c}^{2}+{a}^{2}+ab}{ab+{a}^{2}+{c}^{2}-ac+ac+bc}=1$，
从而问题得证．

点评 本题是等差数列和等比数列的综合题，考查了余弦定理在解三角形中的应用，考查了利用分析法证明恒成立问题，是中档题．