Question

15．△ABC中，$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{DC}$，A=120°，$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=-2，则|$\overrightarrow{AD}$|的最小值是1．

Answer 1

分析 利用向量的数量积公式，及三角形中线向量的表示，利用基本不等式，即可求|$\overrightarrow{AD}$|的最小值

解答 解：∵A=120°，$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{AC}$|cosA=-2，
∴|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{AC}$|=4，
∵$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{DC}$，
∴AD是△ABC的中线，
∴$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$），
∴|$\overrightarrow{AD}$|²=$\frac{1}{4}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）²=$\frac{1}{4}$（|$\overrightarrow{AB}$|²+|$\overrightarrow{AC}$|²+2$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$）≥$\frac{1}{4}$（2|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{AC}$|-4）=1，当且仅当|$\overrightarrow{AB}$|=|$\overrightarrow{AC}$|=2时取等号，
∴|$\overrightarrow{AD}$|的最小值是1，
故答案为：1．

点评 本题考查向量的数量积，基本不等式，考查学生的计算能力，属于中档题．