Question

已知函数的导函数为偶函数，且曲线在点处的切线的斜率为.
（1）确定的值；
（2）若，判断的单调性；
（3）若有极值，求的取值范围.

Answer 1

（1）；（2）增函数；（3）.

试题分析：（1）由
因为是偶函数，所以，又曲线在点处的切线的斜率为，所以有，利用以上两条件列方程组可解的值；
（2）由（1），，当时，利用的符号判断的单调性；
（3）要使函数有极值，必须有零点，由于，所以可以对的取值分类讨论，得到时满足条件的的取值范围.
解：（1）对求导得，由为偶函数，知，
即，因，所以
又，故.
（2）当时，，那么

故在上为增函数.
（3）由（1）知，而，当时等号成立.
下面分三种情况进行讨论.
当时，对任意，此时无极值；
当时，对任意，此时无极值；
当时，令，注意到方程有两根，
即有两个根或.
当时，；又当时，从而在处取得极小值.
综上，若有极值，则的取值范围为.