题目内容
已知函数f（x）=
x3+
x2+（a2-3a）x-2a．
（1）若对任意的x∈[1，2]，f′（x）＞a2恒成立，求a的取值范围；
（2）设函数f（x）的两个极值点分别为x1，x2，求g（a）=x13+x23+a3的最小值．
| 1 |
| 3 |
| a-3 |
| 2 |
（1）若对任意的x∈[1，2]，f′（x）＞a2恒成立，求a的取值范围；
（2）设函数f（x）的两个极值点分别为x1，x2，求g（a）=x13+x23+a3的最小值．
考点：函数恒成立问题,利用导数研究函数的极值
专题：导数的综合应用
分析：（1）先求导，再分离参数，再根据x的取值范围，求得a的范围，
（2）x1，x2是x2+（a-3）x+a2-3a=0的两个根，利用立方和公式化简g（a）=3a3-9a2+27，再根据导数求出g（a）的最值，继而得到最小值．
（2）x1，x2是x2+（a-3）x+a2-3a=0的两个根，利用立方和公式化简g（a）=3a3-9a2+27，再根据导数求出g（a）的最值，继而得到最小值．
解答：
解：（1）∵f（x）=
x3+
x2+（a2-3a）x-2a．
∴f′（x）=x2+（a-3）x+a2-3a．
∵f′（x）＞a2恒成立，
∴x2+（a-3）x-3a＞0，在x∈[1，2]时恒成立，
即（x-3）a+x2-3x＞0，在x∈[1，2]时恒成立，
∵x-3＜0，
∴a＜
=-x，
又-x∈[-2，-1]，
∴a＜-2，
故a的取值范围是（-∞，-2）
（2）∵x1，x2是x2+（a-3）x+a2-3a=0的两个根，
又△＞0，得a∈（-1，3）且x1+x2=3-a，x1•x2=a2-3a，
∴g（a）=x13+x23+a3=（x1+x2）（x12+x22-x1•x2）+a3=3a3-9a2+27，
∴g′（a）=9a2-18a=9a（a-2）
当a∈（2，3）时，g′（a）＞0，g（a）单调递增，
当a∈（0，2）时，g′（a）＜0，g（a）单调递减，
当a∈（-1，0）时，g′（a）＞0，g（a）单调递增，
而g（2）=15，g（-1）=15，
∴g（a）在（-1，3）上的最小值为15．
| 1 |
| 3 |
| a-3 |
| 2 |
∴f′（x）=x2+（a-3）x+a2-3a．
∵f′（x）＞a2恒成立，
∴x2+（a-3）x-3a＞0，在x∈[1，2]时恒成立，
即（x-3）a+x2-3x＞0，在x∈[1，2]时恒成立，
∵x-3＜0，
∴a＜
| x2-3x |
| 3-x |
又-x∈[-2，-1]，
∴a＜-2，
故a的取值范围是（-∞，-2）
（2）∵x1，x2是x2+（a-3）x+a2-3a=0的两个根，
又△＞0，得a∈（-1，3）且x1+x2=3-a，x1•x2=a2-3a，
∴g（a）=x13+x23+a3=（x1+x2）（x12+x22-x1•x2）+a3=3a3-9a2+27，
∴g′（a）=9a2-18a=9a（a-2）
当a∈（2，3）时，g′（a）＞0，g（a）单调递增，
当a∈（0，2）时，g′（a）＜0，g（a）单调递减，
当a∈（-1，0）时，g′（a）＞0，g（a）单调递增，
而g（2）=15，g（-1）=15，
∴g（a）在（-1，3）上的最小值为15．
点评：本题主要考查了导数与函数的最值得关系，以及恒成立的问题，属于中档题．
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