Question

设f（n）=

n    (n∈N*，n为奇数) f( n 2 )  (n∈N*，n为偶数)

，a_n=f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2ⁿ）（n∈N^*）
（1）求a₁，a₂，a₃的值；
（2）写出a_n与a_n-1的一个递推关系式，并求出a_n关于n的表达式；
（3）设数列{b_n}的通项为b_n=log₂（3a_n-2）-10（n∈N^*），前n项和为S_n．整数10³是否为数列{b_n•S_n}中的项：若是，则求出相应的项数；若不是，则说明理由．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的通项公式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由函数解析式结合数列通项公式得a₁，a₂，a₃的值；
（2）结合函数式，由函数关系得到a_n与a_n-1的一个递推关系式，并由等比数列的求和公式求得a_n关于n的表达式；
（3）把a_n代入b_n=log₂（3a_n-2）-10，求出其线n项和，把10³代入{b_n•S_n}的通项验证得答案．

解答： 解：∵f（n）=

n    (n∈N*，n为奇数) f( n 2 )  (n∈N*，n为偶数)

，a_n=f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2ⁿ）
（1）a₁=f（1）+f（2）=f（1）+f（1）=2；
a₂=f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=f（1）+f（3）+f（1）+f（2）=1+3+a₁=6；
a₃=f（1）+f（2）+f（3）+…+f（8）=22；
（2）an-1=f(1)+f(2)+…+f(2n-1)，
a_n=f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2ⁿ）=f（1）+f（3）+f（5）+…+f（2ⁿ-1）
+f（2）+f（4）+f（6）+…+f（2ⁿ）=1+3+5+…+2ⁿ-1+f（1）+f（2）+…+f（2ⁿ-1）
∴an=an-1+4n-1(n≥2)．
∴an=2+4+42+…+4n-1=

4n+2

3

．
（3）∵b_n=log₂（3a_n-2）-10=2n-10，Sn=

n(b1+bn)

2

=n(n-9)．
∴b_nS_n=2n（n-5）（n-9）．
当5≤n≤9时，b_nS_n≤0．
当10≤n≤13时，bnSn≤b13S13=832＜103．
当n≥14时，bnSn≥b14S14=1260＞103．
故10³不是数列{b_n•S_n}中的项．

点评：本题考查了数列的函数特性，考查了等差数列的通项公式和求和公式，考查了学生的逻辑思维能力，是压轴题．