Question

如图，ABCD是边长为3的正方形，PD⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成的夹角为60°
（1）求证：AC⊥平面PBD；
（2）求二面角C-PB-D的正弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）由已知得PD⊥AC，AC⊥BD，由此能证明AC⊥平面PBD．
（2）建立空间直角坐标系D-xyz，利用向量法能求出二面角C-PB-D的正弦值．

解答： （1）证明：∵PD⊥平面ABCD，
∴PD⊥AC，
∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD，
∴AC⊥平面PBD．
（2）解：∵DA，DC，DP两两垂直，
∴建立空间直角坐标系D-xyz，如图，
∵BE与平面ABCD所成角为60°，即∠DBP=60°，
∴

PD

DB

=

3

，由AD=3，得PD=3

6

，
∴D（0，0，0），B（3，3，0），C（0，3，0），P（0，0，3

6

），A（3，0，0），

PB

=（3，3，-3

6

），

PC

=（0，3，-3

6

），
设平面PBC的法向量

n

=(x，y，z)，
则

n • PB =3x+3y-3 6 z=0 n • PC =3y-3 6 z=0

，
取z=

6

，得

n

=（0，6，

6

），
∵AC⊥平面PBD，∴平面PBD法向量为

AC

=（-3，3，0），
设二面角C-PB-D的平面角为θ，
则cosθ=|cos＜

n

，

AC

＞|=|

18

42 • 18

|=

21

7

，
∴sinθ=

1-( 21 7

)2=

2 7

7

．
∴二面角C-PB-D的正弦值为

2 7

7

．

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的正弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．