Question

已知a，b，c分别为△ABC的三边，且3a²+3b²-3c²+2ab=0，则tan

C

2

=

 

．

Answer 1

考点：余弦定理

专题：三角函数的求值

分析：根据题意和余弦定理的推论求出cosC，再由二倍角的余弦公式、商的关系，将cosC化为

1-tan2 C 2

1+tan2 C 2

，再由角C的范围求出tan

C

2

的值．

解答： 解：由3a²+3b²-3c²+2ab=0得，a²+b²-c²=-

2

3

ab，
由余弦定理的推论得，cosC=

a2+b2-c2

2ab

=-

1

3

，
因为cosC=cos2

C

2

-sin2

C

2

=

cos2 C 2 -sin2 C 2

cos2 C 2 +sin2 C 2

=

1-tan2 C 2

1+tan2 C 2

，
所以

1-tan2 C 2

1+tan2 C 2

=-

1

3

，解得tan

C

2

=±

2

，
因为0＜C＜π，所以0＜

C

2

＜

π

2

，则tan

C

2

=

2

，
故答案为：2．

点评：本题考查余弦定理，及二倍角的余弦公式、商的关系的灵活应用，熟练掌握定理和公式是解题的关键．