Question

7．已知双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F（c，0），直线x=a与双曲线C的渐近线在第一象限的交点为A，O为坐标原．若△OAF的面积为$\frac{1}{3}$a²，则双曲线C的离心率为（　　）

• A． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
• B． $\frac{3\sqrt{2}}{2}$
• C． $\sqrt{2}$
• D． $\frac{\sqrt{13}}{3}$

Answer 1

分析 利用△OAF的面积为$\frac{1}{3}$a²，建立方程，即可求出双曲线C的离心率．

解答 解：由题意，A（a，b），
∵△OAF的面积为$\frac{1}{3}$a²，
∴$\frac{1}{2}$bc=$\frac{1}{3}$a²，
∴2c²-3bc-2b²=0，
∴c=2b或c=-$\frac{1}{2}$b（舍去），
∴a=$\sqrt{{c}^{2}-{b}^{2}}$=$\sqrt{3}$b，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故选：A．

点评 本题考查双曲线的离心率的求法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．