Question

已知函数f（x）=ax²-4ln（x-1），a∈R．
（1）当a=1时，求f（x）的单调区间；
（2）已知点P（1，1）和函数f（x）图象上动点M（m，f（m）），对任意m∈[2，e+1]，直线PM倾斜角都是钝角，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（1）先求导，再令导数等于0，解导数大于0得函数的增区间，解导数小于0得函数的减区间．（2）可将问题转化为在[2，c+1]上f（x）＜1恒成立问题，即在[2，c+1]上f（x）_max＜1．先求导f′(x)=2ax-

4

x-1

=

2(ax2-ax-2)

x-1

，因为x∈[2，c+1]，故可只讨论分子的正负问题，不妨令g（x）=ax²-ax-2，讨论g（x）在区间[2，c+1]上的正负问题，同时注意对a的讨论．根据导数正得增区间导数负得减区间，再根据函数的单调性求函数的最值．

解答： 解：（1）当a=1时，f（x）=x²-4ln（x-1），x∈（1，+∞），
∴f（x）=2x-

4

x-1

=

2x2-2x-4

x-1

=

2(x+1)(x-2)

x-1

，
令f′（x）=0，解得：x=2，
∴a=1时，f（x）的单调递增区间为（2，+∞），单调递减区间为（1，2）．
（2）∵对任意m∈[2，e+1]，直线PM的倾斜角都是钝角，
∴对任意m∈[2，e+1]，直线PM的斜率小于0，
即

f(m)-1

m-1

＜0，f（m）＜1，
即f（x）在区间[2，e+1]上的最大值小于1，
f（x）=

2(ax2-ax-2)

x-1

，x∈（1，+∞），
令g（x）=aa²-ax-2
①当a=0时，f（x）=-4ln（x-1）在[2，e+1]上单调递减，
f（x）_max=f（2）=0＜1，显然成立，
∴a=0．
②当a＜0时，二次函数g（x）的图象开口向下，
且g（0）=-2，g（1）=-2，
?x∈（1，+∞），g（x）＜0，
故f′（x）＜0，f（x）在（1，+∞）上单调递减，
故f（x）在[2，e+1]上单调递减，f（x）max=f（2）=4a＜0，显然成立，
∴a＜0．
（3）当a＞0时，二次函数g（x）的图象开口向上，
且g（0）=-2，g（1）=-2．
所以?x₀∈（1，+∞），当x∈（1，x₀）时，g（x）＜0． 当x∈（x₀，+∞）时，g（x）＞0；
所以f（x）在区间（1，+∞）内先递减再递增．
故f（x）在区间[2，e+1]上的最大值只能是f（2）或f（e+1）．
∴

f(2)＜1 f(e+1)＜1

，即：

4a＜1 a(e+1)2-4＜1

，
∴0＜a＜

1

4

．
综上：a＜

1

4

．

点评：本题考察了用导数研究函数的性质；渗透了分类讨论思想，本题是一道综合题．