Question

如图，圆M圆心在x轴上，与x轴的一个交点为A（-2，0），与y轴的一个交点为B（0，-2

2

），点P是OA的中点．若过P点的直线l截圆M所得的弦长为2

6

，则直线l的方程为

 

．

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系,直线的一般式方程

专题：直线与圆

分析：由AC为圆M的直径，利用直径所对的圆周角为直角得到∠ABC为直角，再由OB垂直于AC，得到三角形AOB与三角形BOC相似，由相似得比例求出OC的长，确定出圆心M坐标，以及半径r的值，设直线l解析式为y=k（x+1）=kx+k，根据垂径定理及勾股定理求出k的值，确定出直线l方程即可．

解答： 解：∵AC为圆M的直径，
∴∠ABC=90°，
∵BO⊥AC，
∴△AOB∽△BOC，
∴OB²=OA•OC，即OC=

OB2

OA

=

8

2

=4，
∴C（4，0），半径r=3，
∵A（-2，0），P为OA的中点，
∴圆心M（1，0），P（-1，0），
设直线l斜率为k，即直线l解析式为y=k（x+1）=kx+k，
∴圆心M到直线l的距离d=

|2k|

k2+1

，
∵过P点的直线l截圆M所得的弦长为2

6

，
∴2

r2-d2

=2

6

，即r²-d²=6，
代入得：9-

4k2

k2+1

=6，
解得：k=±

3

，
则直线l方程为y=

3

x+

3

或y=-

3

x-

3

．
故答案为：y=

3

x+

3

或y=-

3

x-

3

点评：此题考查了直线与圆的位置关系，以及直线的一般式方程，弄清题意是解本题的关键．