Question

已知函数f（x）的导函数f′（x）是二次函数，且f′（x）=0的两根为0和2，若函数f（x）在开区间（2m-3，

m2+2

2

）上存在最大值和最小值，则实数m的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：由函数f（x）在开区间（2m-3，

m2+2

2

）上存在最大值和最小值，得

2m-3＜0 m2+2 2 ＞2

，由此能求出实数m的取值范围．

解答： 解：∵函数f（x）的导函数f′（x）是二次函数，
且f′（x）=0的两根为0和2，
∴f′（x）=ax（x-2）=ax²-2ax，
∴f（x）=

1

3

ax3-ax²+c，
∵函数f（x）在开区间（2m-3，

m2+2

2

）上存在最大值和最小值，
∴

2m-3＜0 m2+2 2 ＞2

，解得

2

＜m＜

3

2

，
∴实数m的取值范围为（

2

，

3

2

）．
故答案为：（

2

，

3

2

）．

点评：本题主要考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．