Question

7．设I为△ABC内心，BC=a，AC=b，AB=c，I在BC、AC、AB边上的射影分别为D、E、F，内切圆半径为r，含p=$\frac{1}{2}$（a+b+c）
求证：abc•r=p•AI•BI•CI．

Answer 1

分析 通过正弦定理可知$\frac{AI}{c}$=$\frac{sin\frac{B}{2}}{cos\frac{C}{2}}$、$\frac{BI}{a}$=$\frac{sin\frac{C}{2}}{cos\frac{A}{2}}$、$\frac{CI}{b}$=$\frac{sin\frac{A}{2}}{cos\frac{B}{2}}$，计算可知$\frac{AI•BI•CI}{abc}$=$\frac{r}{p-a}$•$\frac{r}{p-b}$•$\frac{r}{p-c}$，通过三角形面积公式可知（p-a）（p-b）（p-c）=pr²，进而化简即得结论．

解答 证明：如图，由正弦定理可知$\frac{AI}{c}$=$\frac{sin\frac{B}{2}}{sin∠AIB}$=$\frac{sin\frac{B}{2}}{sin（90°+\frac{C}{2}）}$=$\frac{sin\frac{B}{2}}{cos\frac{C}{2}}$，
同理可知$\frac{BI}{a}$=$\frac{sin\frac{C}{2}}{cos\frac{A}{2}}$，$\frac{CI}{b}$=$\frac{sin\frac{A}{2}}{cos\frac{B}{2}}$，
∴$\frac{AI•BI•CI}{abc}$=tan$\frac{A}{2}$tan$\frac{B}{2}$tan$\frac{C}{2}$
=$\frac{r}{AF}$•$\frac{r}{BD}$•$\frac{r}{CE}$
=$\frac{2r}{b+c-a}$•$\frac{2r}{c+a-b}$•$\frac{2r}{a+b-c}$
=$\frac{r}{p-a}$•$\frac{r}{p-b}$•$\frac{r}{p-c}$，
又∵p（p-a）（p-b）（p-c）=${{S}_{△ABC}}^{2}$=p²r²，
∴$\frac{AI•BI•CI}{abc}$=$\frac{{r}^{3}}{p{r}^{2}}$=$\frac{r}{p}$，
整理得：abc•r=p•AI•BI•CI．

点评 本题考查解三角形，考查运算求解能力，利用正弦定理及三角形面积公式是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于难题．