Question

7．已知二次函数f（x）满足f（x-3）=f（-x-3），且该函数的图象与y轴交于点（0，-1），在x轴上截得的线段长为2$\sqrt{6}$．
（1）确定该二次函数的解析式；
（2）当x∈[-6，k]时，求f（x）的最大值．

Answer 1

分析 （1）设f（x）=ax²+b+c（a≠0），利用题中的条件求出a、b、c的值，即可得到函数的解析式．
（2）由于二次函数f（x）=-$\frac{1}{3}$x²-2x-1的对称轴为x=-3，结合二次函数的图象和性质，分-6＜k≤0和k＞0两种情况，可得f（x）的最大值．

解答 解：（1）设f（x）=ax²+b+c（a≠0），
∵f（x）过点（0，-1），
∴c=-1①．…（1分）
又f（x-3）=f（-x-3），
∴f（x）对称轴x=-$\frac{b}{2a}$=-3②．
又|x₁-x₂|=$\frac{\sqrt{{b}^{2}-4ac}}{\left|a\right|}$=2$\sqrt{6}$③，
由①②③式得a=-$\frac{1}{3}$，b=-2，c=-1，
∴f（x）=-$\frac{1}{3}$x²-2x-1．
（2）由于二次函数f（x）=-$\frac{1}{3}$x²-2x-1的对称轴为x=-3，
∴f（-6）=f（0），
若-6＜k≤0，则当x=-6时，f（x）取最大值-1，
若k＞0，则当x=k时，f（x）取最大值-$\frac{1}{3}$k²-2k-1．

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．