Question

18．x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x+y-4≤0}\\{x-2y-4≤0}\\{2x-y+4≥0}\end{array}\right.$，若z=ax-y取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值$\frac{1}{2}$ ．

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，得到直线y=ax-z斜率的变化，从而求出a的取值．

解答 解：作出约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x+y-4≤0}\\{x-2y-4≤0}\\{2x-y+4≥0}\end{array}\right.$对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．
由z=ax-y得y=ax-z，即直线的截距最小，z最大．
若a=0，此时y=-z，此时，目标函数只在B处取得最大值，不满足条件，
若a＞0，目标函数y=ax-z的斜率k=a＞0，要使z=ax-y取得最大值的最优解AB唯一，满足题意
即：直线y=ax-z与直线x-2y-4=0平行，此时a=$\frac{1}{2}$，
若a＜0，目标函数y=ax-z与AC平行，要使z=ax-y取得最大值的最优解B唯一，不满足题意．
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．注意要对a进行分类讨论，同时需要弄清楚最优解的定义．