Question

2．如图，已知等边△ABC的边长为2，圆A的半径为1，PQ为圆A的任意一条直径．
（1）判断$\overrightarrow{BP}•\overrightarrow{CQ}-\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{CB}$的值是否会随点P的变化而变化，请说明理由．
（2）求$\overrightarrow{BP}•\overrightarrow{CQ}$的最大值．

Answer 1

分析 （1）将$\overrightarrow{BP}•\overrightarrow{CQ}-\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{CB}$，利用平面向量基本定理化简成：-$\overrightarrow{AP}$²+$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$，再结合向量的数量积公式即可得出不会随点P的变化而变化，值为1；
（2）先结合图形利用平面向量基本定理将向量$\overrightarrow{BP}$，$\overrightarrow{CQ}$分别用向量$\overrightarrow{BA}$+$\overrightarrow{AP}$，$\overrightarrow{CA}$+$\overrightarrow{AQ}$表示，再利用题中条件化成1+2cosθ，最后结合三角函数的性质求$\overrightarrow{BP}•\overrightarrow{CQ}$的最大值．

解答 解：（1）由于$\overrightarrow{BP}•\overrightarrow{CQ}-\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{CB}$=（$\overrightarrow{AP}$-$\overrightarrow{AB}$）•（$\overrightarrow{AQ}$-$\overrightarrow{AC}$）-$\overrightarrow{AP}$•（$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$），$\overrightarrow{AP}$=-$\overrightarrow{AQ}$．
$\overrightarrow{BP}•\overrightarrow{CQ}-\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{CB}$=（$\overrightarrow{AP}$-$\overrightarrow{AB}$）•（-$\overrightarrow{AP}$-$\overrightarrow{AC}$）-$\overrightarrow{AP}$•（$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$）=-$\overrightarrow{AP}$²+$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$
=-1+2×2×$\frac{1}{2}$=1．
所以$\overrightarrow{BP}•\overrightarrow{CQ}-\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{CB}$=1，
即$\overrightarrow{BP}•\overrightarrow{CQ}-\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{CB}$不会随点P的变化而变化，值为1．
（2）$\overrightarrow{BP}•\overrightarrow{CQ}$=（$\overrightarrow{BA}$+$\overrightarrow{AP}$）•（$\overrightarrow{CA}$+$\overrightarrow{AQ}$）=$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{CA}$+$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{AQ}$+$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{CA}$+$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AQ}$
=2×2×$\frac{1}{2}$+$\overrightarrow{AQ}$•（$\overrightarrow{BA}$-$\overrightarrow{CA}$）-$\overrightarrow{AQ}$²=2-1+$\overrightarrow{AQ}$•$\overrightarrow{BC}$
=1+1×2cosθ（其中θ为$\overrightarrow{AQ}$，$\overrightarrow{BC}$的夹角）
所以 θ=0时，$\overrightarrow{BP}•\overrightarrow{CQ}$取最大值3．

点评 本题主要考查向量的模、最大值问题中的应用、平面向量数量积的运算等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于中档题．