Question

设函数f（x）=sin

π

6

-

3

sin²ωx-

1

2

sin2ωx（ω＞0），q且y=f（x）的最小正周期为π．
（Ⅰ）求f（

π

2

）的值；
（Ⅱ）求f（x）在区间[π，

3π

2

]上的最小值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（I）根据倍角公式和两角和的余弦公式化简可得解析式f（x）=

1- 3

2

+cos（2ωx+

π

6

），根据周期可求ω，即可求f（

π

2

）的值；
（Ⅱ）先求2x+

π

6

∈[

13π

6

，

19π

6

]，可得cos（2ωx+

π

6

）∈[-1，

3

2

]，从而可求f（x）在区间[π，

3π

2

]上的最小值．

解答： 解：（I）∵f（x）=sin

π

6

-

3

×

1-cos2ωx

2

-

1

2

sin2ωx=

1

2

-

3

2

+

3

2

cos2ωx-

1

2

sin2ωx=

1- 3

2

+cos（2ωx+

π

6

），
又∵T=

2π

2ω

=π，
∴ω=1，
∴f（x）=cos（2x+

π

6

）-

3 -1

2

，
∴f（

π

2

）=cos

7π

6

-

3 -1

2

=-

3

2

-

3 -1

2

=

1-2 3

2

，
（Ⅱ）∵x∈[π，

3π

2

]，
∴2x+

π

6

∈[

13π

6

，

19π

6

]，
∴cos（2ωx+

π

6

）∈[-1，

3

2

]，
∴f（x）在区间[π，

3π

2

]上的最小值为

1- 3

2

-1=

- 3 -1

2

．

点评：本题主要考察了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法，属于基本知识的考查．