Question

已知平面向量

a

=（sinx，cosx），

b

=（sinx，-cosx），

c

=（-cosx，-sinx），x∈R，函数f（x）=

a

•（

b

-

c

）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）若f（

α

2

）=

2

2

，求sinα的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦函数的图象

专题：三角函数的求值

分析：（Ⅰ）由向量和三角函数的运算可得f（x）=

2

sin（2x-

π

4

）由2kπ+

π

2

≤2x-

π

4

≤2kπ+

3π

2

解不等式可得；
（Ⅱ）由题意可得sin（α-

π

4

）=

1

2

，可得cos（α-

π

4

）=±

3

2

，而sinα=sin[（α-

π

4

）+

π

4

]=

2

2

sin（α-

π

4

）+

2

2

 cos（α-

π

4

），分类讨论代入计算可得．

解答： 解：（Ⅰ）∵

a

=（sinx，cosx），

b

=（sinx，-cosx），

c

=（-cosx，-sinx），
∴

b

-

c

=（sinx+cosx，sinx-cosx），
∴f（x）=

a

•（

b

-

c

）=sinx（sinx+cosx）+cosx（sinx-cosx）
=sin²x+2sinxcosx-cos²x=sin2x-cos2x=

2

sin（2x-

π

4

）
由2kπ+

π

2

≤2x-

π

4

≤2kπ+

3π

2

可解得kπ+

3π

8

≤x≤kπ+

7π

8

，
∴函数f（x）的单调递减区间是为[kπ+

3π

8

，kπ+

7π

8

]，k∈Z；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=

2

sin（2x-

π

4

），
由f（

α

2

）=

2

2

可得

2

sin（α-

π

4

）=

2

2

，∴sin（α-

π

4

）=

1

2

，
又∵sin²（α-

π

4

）+cos²（α-

π

4

）=1，∴cos（α-

π

4

）=±

3

2

，
sinα=sin[（α-

π

4

）+

π

4

]=

2

2

sin（α-

π

4

）+

2

2

 cos（α-

π

4

），
∴当cos（α-

π

4

）=

3

2

时，sinα=

1

2

×

2

2

+

3

2

×

2

2

=

6 + 2

4

当cos（α-

π

4

）=-

3

2

时，sinα=

1

2

×

2

2

-

3

2

×

2

2

=

2 - 6

4

点评：本题考查三角函数恒等变换，涉及三角函数的单调性和和差角的三角函数以及分类讨论的思想，属中档题．