Question

已知数列{a_n}满足a₁=

1

4

，（1-a_n）a_n+1=

1

4

．令b_n=a_n-

1

2

．
（1）求证：数列{

1

bn

}为等差数列；
（2）求和：S_n=

a2

a1

+

a3

a2

+…+

an+1

an

．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）根据已知条件对关系式进行恒等变换，会进一步利用定义证明数列是等差数列．
（2）利用（1）的结论，进一步求出数列的通项公式，对关系式进行恒等变换，最后利用裂项相消法求出数列的和．

解答： 解：（1）已知数列满足关系式：(1-an)an+1=

1

4

，
所以：1-an=

1

4an+1

，
则：an-1=-

1

4an+1

，
所以：an-

1

2

=

1

2

-

1

4an+1

=

2an+1-1

4an+1

=

2(an+1- 1 2 )

4an+1

则：

1

an- 1 2

=

2an+1

an+1- 1 2

=

2an+1-1+1

an+1- 1 2

=2+

1

an+1- 1 2

由于：bn=an-

1

2

所以：bn+1=an+1-

1

2

1

bn+1

-

1

bn

=-2（常数）
所以：数列{

1

bn

}是等差数列．
（2）由（1）得：

1

an- 1 2

=

1

a1- 1 2

-2(n-1)
整理得：an=

1

2

(

n

n+1

)
所以：

an+1

an

=1+

1

n(n+2)

=1+

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)
Sn=

a2

a1

+

a3

a2

+…+

an+1

an

=(1+1+…+1)+

1

2

(1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+…+

1

n-1

-

1

n+1

+

1

n

-

1

n+2

）
=n+

1

2

(1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)
=n+

1

2

(

3

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)

点评：本题考查的知识要点：递推关系式的恒等变换，利用定义法证明数列是等差数列，裂项相消法的应用．属于中等题型．