Question

设x=a和x=b是函数f（x）=lnx+

1

2

x²-（m+2）x的两个极值点，其中a＜b，m∈R．
（1）求f（a）+f（b）的取值范围；
（2）若m≥

e

+

1

e

-2（e为自然对数的底数），求f（b）-f（a）的最大值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（1）函数f（x）有两个极值点，即它的导函数有两个不相等的正实数根，转化成二次函数有实根的问题，由韦达定理，利用二次函数的单调性求出f（a）+f（b）的取值范围；
（2）将f（b）-f（a）化简变形，令t=

b

a

，构造关于t的一个函数，再由m≥

e

+

1

e

-2求出t的取值范围，求出f（b）-f（a）的最大值．

解答： 解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=

1

x

+x-(m+2)=

x2-(m+2)x+1

x

，
依题意，方程x²-（m+2）x+1=0有两个不等的正根a、b（其中a＜b），
故

(m+2)2-4＞0 m+2＞0

，∴m＞0，
又a+b=m+2，ab=1，
∴f（a）+f（b）=lnab+

1

2

(a2+b2)-（m+2）（a+b）
=

1

2

[(a+b)2-2ab]-（m+2）（a+b）=-

1

2

(m+2)2-1，
∵m＞0，∴-

1

2

（m+2）²-1＜-3，
故f（a）+f（b）的取值范围是（-∞，-3）；
（2）当m≥

e

+

1

e

-2时，（m+2）²≥e+

1

e

+2，
设t=

b

a

（t＞1），则（m+2）²=（a+b）²=

(a+b)2

ab

=t+

1

t

+2≥e+

1

e

+2，
∴t+

1

t

≥e+

1

e

⇒（t-e）（1-

1

te

）≥0，∴t≥e，
∴f（b）-f（a）=ln

b

a

+

1

2

（b²-a²）-（m+2）（b-a）
=ln

b

a

+

1

2

（b²-a²）-（b+a）（b-a）=ln

b

a

-

1

2

（b²-a²）
=ln

b

a

-

1

2

（

b2-a2

ab

）=ln

b

a

-

1

2

（

b

a

-

a

b

）=lnt-

1

2

（t-

1

t

），
构造函数g（t）=lnt-

1

2

（t-

1

t

），其中t≥e，
由g′（t）=

1

t

-

1

2

（1+

1

t2

）=-

(t-1)2

2t2

＜0
∴g（t）在[e，+∞）上单调递减，g（t）≤g（e）=1-

e

2

+

1

2e

，
故f（b）-f（a）的最大值为1-

e

2

+

1

2e

．

点评：本题是考查了函数的极值，运用了求导，构造函数，等价转化，化归等思想，是一道导数的综合应用题，中等难度．