Question

设x、y是正实数，且x+y=1，则

x2

x+1

+

y2

y+1

的最小值是

 

．

Answer 1

考点：函数最值的应用

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：由基本不等式可得0＜xy≤

1

4

，令t=xy，则0＜t≤

1

4

，则Z=

x2

x+1

+

y2

y+1

=

1-t

t+2

，分析函数的单调性，进而根据单调性可得答案．

解答： 解：∵x+y=1，
∴

x2

x+1

+

y2

y+1

=

x2(y+1)+y2(x+)

(x+1)(y+1)

=

xy(x+y)+x2+y2

xy+x+y+1

=

xy+(x+y)2-2xy

xy+2

=

1-xy

xy+2

，
又∵x、y是正实数，
∴x+y=1≥2

xy

，即0＜xy≤

1

4

，
令t=xy，则0＜t≤

1

4

，Z=

x2

x+1

+

y2

y+1

=

1-t

t+2

，
∵Z′=

-3

(t+2)2

＜0在0＜t≤

1

4

时恒成立，
故Z=

1-t

t+2

在0＜t≤

1

4

时为减函数，
故当t=

1

4

时，函数有最小值

1

3

，
即

x2

x+1

+

y2

y+1

的最小值是

1

3

，
故答案为：

1

3

点评：本题考查的知识点是函数最值的应用，其中将问题转化为求函数的最小值，是解答的关键．