Question

设直线y=ax+1（a＞0）与曲线

lg(2-|x-1|)

lgy

=

1

2

恰有2个公共点，则a的取值的集合为

 

．

Answer 1

考点：函数的零点

专题：函数的性质及应用

分析：利用

lg(2-|x-1|)

lgy

=

1

2

，推导出y=

x2+2x+1，0＜x≤1 x2-6x+9，x＞1

，由此能推导出a的取值的集合．

解答： 解：∵

lg(2-|x-1|)

lgy

=

1

2

，
∴lgy=2lg（2-|x-1|）=lg（2-|x-1|）²，
且2-|x-1|＞0，即-1＜x＜3．
∴y=（2-|x-1|）²=4-4|x-1|+（x-1）²，
∴y=

x2+2x+1，0＜x≤1 x2-6x+9，x＞1

，
作出其图象，如右图：
∵y=ax+1（a＞0）恒过点C（0，1），
直线y=ax+1（a＞0）与曲线

lg(2-|x-1|)

lgy

=

1

2

恰有2个公共点，
∴直线y=ax+1（a＞0）过A（-1，0），C（0，1）时，
a_min→

1-0

0+1

=1；
直线y=ax+1（a＞0）过D（1，4），C（0，1）时，
a_max→

4-1

1-0

=3．
∴a的取值的集合为（1，3）．
故答案为：（1，3）

点评：本题考查函数的图象的应用，解题时要注意等价转化思想和数形结合思想的合理运用．