Question

已知函数f（x）=|x-a|+|x-2|+a．
（1）当a=2时，求f（x）＞4的解集；
（2）若关于x的不等式f（x）-|x-4|＜0在x∈（1，2）上恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）当a=2时，f（x）＞4⇒|x-2|＞1，解之即可；
（2）依题意，可求得|x-a|＜2-a在x∈（1，2）时恒成立，转化为不等式组

a＜2 (x-a)2＜(2-a)2

，可求得a＜

x+2

2

（1＜x＜2）恒成立，从而可得实数a的取值范围．

解答： （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
解：（1）当a=2时，由f（x）=2|x-2|+2＞4，得|x-2|＞1，
所以x-2＜-1或x-2＞1，…（2分）
即x＜1或x＞3，
所以f（x）＞4的解集为{x|x＜1或x＞3}； …（4分）
（2）由题意得：|x-a|+|x-2|+a-|x-4|＜0 在区间（1，2）上恒成立，
∴|x-a|+2-x+a-4+x＜0，…（6分）
即|x-a|＜2-a，∴

a＜2 (x-a)2＜(2-a)2

⇒

a＜2 x2-4＜2a(x-2)

，
又因为x∈（1，2），所以a＜

x+2

2

，
又f（x）-|x-4|＜0区间（1，2）上恒成立，
所以a≤

3

2

…（10分）

点评：本题考查绝对值不等式的解法，着重考查等价转化思想的运用及运算求解能力，属于中档题．