Question

若F₁，F₂分别是椭圆

x2

4

+y²=1的左、右焦点．
（1）设点P是第一象限内椭圆上的点，且

PF1

•

PF2

=-

5

4

，求点P的坐标；
（2）设过定点M（0，2）的直线l与椭圆交于不同的点A，B，且

OA

•

OB

＞0，（其中O为原点），求直线l的斜率k的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）根据椭圆方程求得焦点F₁，F₂，利用向量的数量积公式，结

PF1

•

PF2

=-

5

4

，求点P的坐标；
（2）设直线l：y=kx+2代入椭圆方程消去y，进而根据判别式求得k的范围，设出A，B的坐标，根据韦达定理求得x₁+x₂和x₁x₂的表达式，由

OA

•

OB

＞0，可得x₁x₂+y₁y₂＞0求得关于k的不等式，求得k的范围，最后综合求得答案．

解答： 解：（1）易知a=2，b=1，c=

3

，
∴F₁（-

3

，0），F₂（

3

，0）
设P（x，y）（x＞0，y＞0）
则

PF1

•

PF2

=x²+y²-3=-

5

4

，
与椭圆联立得x=1，y=

3

2

，
∴P（1，

3

2

）；…（7分）
（2）显然直线x=0不满足题设条件，可设直线l：y=kx+2，A（x₁，y₂），B（x₂，y₂），
与椭圆联立得（1+4k²）x²+16kx+12=0…（9分）
∴x₁x₂=

12

1+4k2

，x₁+x₂=-

16k

1+4k2

…（8分）
由△=4k²-3＞0得k²＞

3

4

…（9分）
又

OA

•

OB

＞0．
∴x₁x₂+y₁y₂＞0
∴（1+k²）x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4＞0…（12分）
∴

4(4-k2)

1+4k2

＞0，
∴-

1

4

＜k²＜4
综上可得

3

4

＜k²＜4，
∴直线l的斜率k的取值范围是（-2，-

3

2

）∪（

3

2

，2）…（14分）

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．直线与圆锥曲线的综合问题是支撑圆锥曲线知识体系的重点内容，是高考的热点．