Question

8．已知P（x，y）为区域$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}-4{x}^{2}≤0}\\{0≤x≤a}\end{array}\right.$内的任意一点，当该区域的面积为2时，z=x+2y的最大值是5．

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域．根据三角形的面积求出a的值，利用数形结合进行求解即可．

解答 解：不等式组等价为$\left\{\begin{array}{l}{（y-2x）（y+2x）≤0}\\{0≤x≤a}\end{array}\right.$，
 即$\left\{\begin{array}{l}{y-2x≥0}\\{y+2x≤0}\\{0≤x≤a}\end{array}\right.$ 或$\left\{\begin{array}{l}{y-2x≤0}\\{y+2x≥0}\\{0≤x≤a}\end{array}\right.$，

则A（a，-2a），B（a，2a），
由S_△OAB=$\frac{1}{2}$•4a•a=2，得a=1．
∴B（1，2），
由z=x+2y得y=$-\frac{1}{2}$x+$\frac{z}{2}$，
∴当y=$-\frac{1}{2}$x+$\frac{z}{2}$过B点时，z最大，z=1+2×2=5．
故答案为：5

点评 本题主要考查线性规划的基本应用，利用z的几何意义是解决线性规划问题的关键，注意利用数形结合来解决．