Question

20．已知向量$\vec a$与$\overrightarrow b$的夹角为$\frac{2π}{3}$，$|{\overrightarrow a}|=2$，|$\overrightarrow{b}$|=3，记$\vec m=3\vec a-2\vec b$，$\vec n=2\vec a+k\vec b$
（I） 若$\vec m⊥\vec n$，求实数k的值；
（II） 当$k=-\frac{4}{3}$时，求向量$\vec m$与$\vec n$的夹角θ．

Answer 1

分析 （I） 若$\vec m⊥\vec n$，两个向量垂直的性质可得$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=0，由此求得实数k的值．
（II） 解法一：当$k=-\frac{4}{3}$时，求的cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n＞}$=1，从而求得向量$\vec m$与$\vec n$的夹角θ的值．
解法二：根据当$k=-\frac{4}{3}$时，$\overrightarrow{n}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{m}$，可得向量$\vec m$与$\vec n$的夹角θ的值．

解答 解：（I）由于$\overrightarrow a•\overrightarrow b=|{\overrightarrow a}|•|{\overrightarrow b}|•cos\frac{2π}{3}=-3$，又∵$\vec m⊥\vec n$，可得$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=（3$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$）•（2$\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow{b}$）
=6${\overrightarrow{a}}^{2}$+（3k-4）$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$-2k${\overrightarrow{b}}^{2}$=24-3（3k-4）-2k×9=36-27k=0，求得 $k=\frac{4}{3}$．
（II） $|{\overrightarrow m}|=6\sqrt{3}，|{\overrightarrow n}|=4\sqrt{3}$，$\overrightarrow m•\overrightarrow n=72$，$cos＜\overrightarrow m，\overrightarrow n＞=\frac{\overrightarrow m•\overrightarrow n}{{|{\overrightarrow m}|•|{\overrightarrow n}|}}=1$，
因为0≤θ≤π，∴θ=0．
解法二：当$k=-\frac{4}{3}$时，$\overrightarrow n=2\overrightarrow a-\frac{4}{3}\overrightarrow b=\frac{2}{3}（3\overrightarrow a-2\overrightarrow b）=\frac{2}{3}\overrightarrow m$，
所以$\overrightarrow m，\overrightarrow n$同向，∴θ=0   …（12分）

点评 本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量垂直的性质，求向量的模的方法，属于中档题．