Question

【题目】已知圆，点，点在圆上运动，的垂直平分线交于点．

（1）求证：为定值及动点的轨迹的方程；

（2）不在轴上的点为上任意一点，与关于原点对称，直线交于另外一点．求证：直线与直线的斜率的乘积为定值，并求出该定值．

Answer 1

【答案】（1）见解析，（2）见解析，．

【解析】

（1）圆的圆心为，半径为，根据中垂线有为定值，再利用椭圆的定义求解.

（2）设，，则，，再根据点，都在椭圆上，有，，代入化简求解.

（1）证明：如图所示：

圆的圆心为，半径为，

为定值，且，

所以动点的轨迹为焦点在轴上的椭圆，

设标准方程为，

可得，，，

故所求动点的轨迹的方程为；

（2）证明：如图所示：

设，，则，

∵，都在椭圆上，∴，，

∴，

∴．

所以直线与直线的斜率的乘积为定值，且为．