Question

【题目】如图，在直三棱柱中，，，是的中点.

（1）求证：平面；

（2）求二面角的余弦值；

（3）试问线段上是否存在点，使与面所成角的正弦值为？若存在，求出此时的长，若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）不存在，理由见解析

【解析】

（1）连接交于点，得是的中位线，再由线面平行的判定定理即可证明；

（2）建立直角坐标系，由两个平面的法向量的夹角即可得出二面角；

（3）设点，，表示出向量，由线面角的夹角公式求出的值即可判断.

（1）如图，连接交于点，

因为是直三棱柱，所以四边形是矩形，

点为的中点，又为中点，

所以是的中位线，所以，

又平面，平面，

所以平面；

（2）因为是直三棱柱，，所以、、两两垂直，

如图建立空间直角坐标系，设，

则，，，

所以，，

设平面的法向量，则

，令，则，，

所以，

易知平面的法向量，

由二面角是锐角，

所以，

即二面角的余弦值为；

（3）设线段上存在点，，

则，

由（2）知，平面平面的法向量，

因为与面所成角的正弦值为，

所以，

解得，

所以在线段上不存在点，使得与面所成角的正弦值为.