题目内容
【题目】如图，三棱柱
中， 
平面
， 
， 
， 
分别为
， 
的中点.
（1）求证： 
平面
；
（2）若平面
平面
，求直线
与平面
所成角的正弦值.
【答案】（1）详见解析；（2）
.
【解析】试题（1）连接
， 
， 设法证明
，即可得到
平面
；
（2）由
平面
，得
， 
．
以
为原点，分别以
， 
， 
所在直线为
轴， 
轴， 
轴建立如图所示的空间直角坐标系，
求出相关点的坐标，得到直线
的方向向量和平面
的法向量，利用
即可求出直线
与平面
所成角的正弦值．
试题解析：
（1）连接
， 
，则
且
为
的中点，
又∵
为
的中点，∴
，
又
平面
， 
平面
，
故
平面
．…4分
（2）由
平面
，得
， 
．
以
为原点，分别以
， 
， 
所在直线为
轴， 
轴， 
轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设
，
则
， 
， 
，
， 
， 
．
取平面
的一个法向量为
，
由
， 
得：
，令
，得
同理可得平面
的一个法向量为
∵平面
平面
，∴
解得
，得
，又
，
设直线
与平面
所成角为
，则
.
所以，直线
与平面
所成角的正弦值是
．
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