Question

【题目】如图，已知边长为2的正三角形ABE所在的平面与菱形ABCD所在的平面垂直，且，点F是BC上一点，且．

（1）当时，证明：；

（2）是否存在一个常数k，使得三棱锥的体积等于四棱锥的体积的，若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

(1)取的中点,连结,可知．由平面平面，则有平面,，在菱形中,,可得即证得平面.所以．

(2) 由已知可求得,，即可证得存在常数时满足题意.

（1）证明：取的中点，连结，由题意知．

又因为平面平面，所以平面．

因为平面，所以，

因为四边形为菱形，所以，

又因为，所以，所以平面.

又平面，所以．

（2）解：，

，

，所以存在常数，

使得三棱锥D﹣FEB的体积等于四棱锥E﹣ABCD的体积的.