题目内容

如图所示，边长为a的等边△ABC的中心是G，直线MN经过G点与AB、AC分别交于M、N点，已知∠MGA=α（
π
3
≤α≤
2π
3
）．
（1）设S1、S2分别是△AGM、△AGN的面积，试用α表示S1、S2；
（2）当线段MN绕G点旋转时，求y=
1
S12
+
1
S22
的最大值和最小值．
考点：不等式的实际应用
专题：综合题,解三角形
分析：（1）根据G是边长为1的正三角形ABC的中心，可求得AG，进而利用正弦定理求得GM，然后利用三角形面积公式求得S1，同理可求得S2
（2）把（1）中求得S1与S2代入求得函数的解析式，进而根据α的范围和余切函数的单调性求得函数的最大和最小值．
解答：解：（1）因为G是边长为a的正三角形ABC的中心，
所以AG=
3
3
a，∠MAG=
π
6
，
由正弦定理得GM=
3
a
6sin(α+
π
6
)

则S1=
1
2
GM•GA•sinα=
asinα
12sin(α+
π
6
)

同理可求得S2=
asinα
12sin(α-
π
6
)

（2）y=
1
S12
+
1
S22
=
144
a2sin2α
[sin2(α+
π
6
)+sin2(α-
π
6
)]
=
72
a2
（3+cot2α）
因为
π
3
≤α≤
2π
3
，
所以当a=
π
3
或a=
2π
3
时，y取得最大值ymax=
240
a2

当a=
π
2
时，y取得最小值ymin=
216
a2
．
点评：本题主要考查了解三角形问题．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．
练习册系列答案
相关题目
如图，在△ABC中，
CM
=2
MB
，过点M的直线分别交射线AB、AC于不同的两点P、Q，若
AP
=m
AB
，
AQ
=n
AC
，则mn+m的最小值为（　　）
A、6
3
B、2
3
C、6
D、2
已知抛物线的参数方程为
x=4t2
y=4t
，（t为参数），焦点为F，准线为l，过抛物线上一点P作PE⊥l于E，若直线EF的倾斜角为150°，则|PF|=
 
．
已知x∈[-1，1]时，f（x）=x2-ax+
a
2
＞0恒成立，则实数a的取值范围是（　　）
A、（0，2）
B、（2，+∞）
C、（0，+∞）
D、（0，4）
已知f（x）=32x-（k+1）3x+2，当x∈R时，f（x）恒为正值，则k的取值范围是（　　）
A、（-∞，-1）
B、（-∞，2
2
-1）
C、（-1，2
2
-1）
D、（-2
2
-1，2
2
-1）
函数y=cos2x+sinx（x∈[-
π
4
，
π
4
]）的最大值和最小值分别为（　　）
A、1，-1
B、
1+
2
2
，-
1
2
C、
1+
2
2
，
1-
2
2
D、
5
4
，
1-
2
2
已知过抛物线y2=4x的焦点F的直线l与抛物线相交于A、B两点，若线段AB的中点M的横坐标为3，则线段AB的长度为（　　）
A、6B、8C、10D、12
已知点P为抛物线x2=12y的焦点，A、B是双曲线3x2-y2=12的两个顶点，则△APB的面积为（　　）
A、12B、8C、6D、4
若函数y1=sin2x1-
3
2
（x1∈[0，π]），函数y2=x2+3，则（x1-x2）2+（y1-y2）2的最小值为（　　）
A、
2
12
π
B、
(π+18)2
72
C、
(π+8)2
12
D、
(π-3
3
+15)2
72

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