Question

已知f（x）=3^2x-（k+1）3^x+2，当x∈R时，f（x）恒为正值，则k的取值范围是（　　）

• A、（-∞，-1）
• B、（-∞，2

  2

  -1）
• C、（-1，2

  2

  -1）
• D、（-2

  2

  -1，2

  2

  -1）

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：综合题,不等式的解法及应用

分析：令3^x=t 换元后分对称轴大于0和小于等于0分类讨论，当对称轴大于0时直接由判别式小于0求解，当对称轴小于等于0时则需要g（0）＞0，求得k的取值范围后取并集得答案．

解答：解：令3^x=t （t＞0），
则g（t）=t²-（k+1）t+2，
若x∈R时，f（x）恒为正值，
则g（t）=t²-（k+1）t+2＞0对t＞0恒成立．
∴

k+1 2 ＞0 (k+1)2-8＜0

  ①
或

k+1 2 ≤0 g(0)=2＞0

    ②
解①得：-1＜k＜-1+2

2

；
解②得：k≤-1．
综上，实数k的取值范围是（-∞，2

2

-1）．
故选：B．

点评：本题考查了函数恒成立问题，考查了数学转化思想方法和分类讨论的数学思想方法，训练了利用“三个二次”求解参数的取值范围，是中档题．