题目内容

三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝BB1＝1，直线B1C与平面ABC成30°角，求二面角B－B1C－A的正弦值．

答案：
解析：

　　解：由直三棱柱性质得平面ABC平面BCC1B1，过A作AN平面BCC1B1，垂足为N，则AN平面BCC1B1，(AN即为我们要找的垂线)在平面BCB1内过N作NQ棱B1C，垂足为Q，连QA，则NQA即为二面角的平面角．

　　∵AB1在平面ABC内的射影为AB，CAAB，∴CAB1A，AB＝BB1＝1，得AB1＝．∵直线B1C与平面ABC成30°角，∴B1CB＝30°，B1C＝2，Rt△B1AC中，由勾股定理得AC＝，∴AQ＝1．在Rt△BAC中，AB＝1，AC＝，得AN＝．

　　sinAQN＝＝．即二面角B－B1C－A的正弦值为．


提示：

可以知道，平面ABC与平面BCC1B1垂直，故可由面面垂直的性质来寻找从一个半平面到另一个半平面的垂线．


练习册系列答案
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精英家教网三棱柱ABC-A1B1C1中，M、N分别是A1B、B1C1上的点，且BM=2A1M，C1N=2B1N．设
AB
=
a
，
AC
=
b
，
AA1
=
c
．
（Ⅰ）试用
a
，
b
，
c
表示向量
MN
；
（Ⅱ）若∠BAC=90°，∠BAA1=∠CAA1=60°，AB=AC=AA1=1，求MN的长．
已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影为BC的中点，则异面直线A1B与CC1所成的角的余弦值为（　　）
A、
7
4
B、
5
4
C、
3
4
D、
2
4
在直三棱柱ABC-A1B1C1中，B1C1=A1C1，AC1⊥A1B，M，N分别是A1B1，AB 的中点，给出如下三个结论：
①C1M⊥平面A1ABB1
②A1B⊥AM
③平面AMC1∥平面CNB1，其中正确结论为
①②③
①②③
（填序号）
如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1D1中，点M是A1B的中点，点N是B1C的中点，连接MN．
（I）证明：MN∥平面ABC；
（II）若AB=1，AC=AA1═
3
，BC=2，点P是CC1的中点，求四面体B1-APB的体积．
（2011•浙江模拟）已知三棱柱ABC-A1B1C1，底面△ABC为正三角形，AA1⊥平面ABC，BC=
2
BB1=2
2
，O为BC中点．
（Ⅰ）求证：A1B∥平面AOC1；
（Ⅱ）求直线AC与平面AOC1所成角的正弦值．

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