题目内容
三棱柱ABC-A1B1C1中，M、N分别是A1B、B1C1上的点，且BM=2A1M，C1N=2B1N．设| AB |
| a |
| AC |
| b |
| AA1 |
| c |
（Ⅰ）试用
| a |
| b |
| c |
| MN |
（Ⅱ）若∠BAC=90°，∠BAA1=∠CAA1=60°，AB=AC=AA1=1，求MN的长．
分析：（Ⅰ）由图形知
=
+
+
=
+
+
再用
，
，
表示出来即可
（Ⅱ）求MN的长，即求|
|=
|
+
+
|，利用求向量模的方法，求|
+
+
|即可求得MN的长
| MN |
| MA1 |
| A1B1 |
| B1N |
| 1 |
| 3 |
| BA1 |
| AB |
| 1 |
| 3 |
| B1C1 |
| a |
| b |
| c |
（Ⅱ）求MN的长，即求|
| MN |
| 1 |
| 3 |
| a |
| b |
| c |
| a |
| b |
| c |
解答：解：（Ⅰ）由图形知
=
+
+
=
+
+
=
(
-
)+
+
(
-
)=
+
+
．
（Ⅱ）由题设条件
∵(
+
+
)2=
2+
2+
2+2
•
+2
•
+2
•
=1+1+1+0+2×1×1×
+2×1×1×
=5，
∴|
+
+
| =
，|
|=
|
+
+
=|
．
| MN |
| MA1 |
| A1B1 |
| B1N |
| 1 |
| 3 |
| BA1 |
| AB |
| 1 |
| 3 |
| B1C1 |
| 1 |
| 3 |
| c |
| a |
| a |
| 1 |
| 3 |
| b |
| a |
| 1 |
| 3 |
| a |
| 1 |
| 3 |
| b |
| 1 |
| 3 |
| c |
（Ⅱ）由题设条件
∵(
| a |
| b |
| c |
| a |
| b |
| c |
| a |
| b |
| b |
| c |
| a |
| c |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∴|
| a |
| b |
| c |
| 5 |
| MN |
| 1 |
| 3 |
| a |
| b |
| c |
| ||
| 3 |
点评：本题考查空间向量的夹角与距离求解公式，解题的关键是掌握住向量加法法则与用空间向量求线段长度的公式，空间向量法求立体几何中距离是空间向量的一个非常重要的运用．理解并记忆熟练公式是解题的知识保证．
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