Question

（2011•浙江模拟）已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁，底面△ABC为正三角形，AA₁⊥平面ABC，BC=

2

BB1=2

2

，O为BC中点．
（Ⅰ）求证：A₁B∥平面AOC₁；
（Ⅱ）求直线AC与平面AOC₁所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（I）连接A₁C，交AC₁于D，连OD则D为A₁C的中点，又O为BC的中点，推出A₁B∥OD，根据线面平行的判定定理得A₁B∥平面AOC₁．
（II）连接B₁C交OC₁于E，连AE，证得OC₁⊥B₁C，又AO⊥面BCC₁B₁，得出CAE即为直线AC与平面AOC₁所成角，得到所成角之后再在三角形中利用争三角形，求之即可．

解答：解：（Ⅰ）连接A₁C，交AC₁于D，连OD
则D为A₁C的中点，
又O为BC的中点
∴A₁B∥OD…．…．…．…（5分）
又A₁B?面AOC₁，OD?面AOC₁
∴A₁B∥面AOC₁…．…．…．…（7分）
（II）连接B₁C交OC₁于E，连AE，∵BC=

2

BB1，∴

OC

CC 1

=

2

2

=

CC 1

B 1C 1

，∴Rt△OCC₁∽Rt△CC₁B₁，
∴∠C₁OC=∠B₁CC₁，∠C₁OC+∠ECO=∠C₁OC+∠B₁CC₁=90°，
∴OC₁⊥B₁C，又AO⊥面BCC₁B₁，
∴AO⊥B₁C，∴B₁C⊥面AOCv，∴∠CAE即为直线AC与平面AOC₁所成角，
又OC=

2

，CC₁=2，∴OC₁=

6

，CE=

2

3

，
∴sin∠CAE=

CE

CA

=

2 3

2 2

=

6

6

即为所求．

点评：本题是中档题，考查空间几何体的直线与平面所成的角，直线与平面平行的证明，考查空间想象能力，计算能力．