Question

已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱与底面边长都相等，A₁在底面ABC上的射影为BC的中点，则异面直线A₁B与CC₁所成的角的余弦值为（　　）

• A、

  7

  4

• B、

  5

  4

• C、

  3

  4

• D、

  2

  4

Answer 1

分析：设三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱与底面边长都相等均为1，BC的中点为O，则由题意得 A₁O⊥面ABC．勾股定理求的
  A₁O 的长，和A₁B的长，△A₁BA中，由余弦定理可得cos∠AA₁B 的值，即为所求．

解答：解：设三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱与底面边长都相等均为1，BC的中点为O，则由题意得 A₁O⊥面ABC．
则 A₁O=

A1A2-AO2

=

1- 3 4

=

1

2

．
Rt△则 A₁OB中，A₁B=

A1O2+BO2

=

1 4 + 1 4

=

2

2

．
△A₁BA中，由余弦定理可得 AB²=A₁B²+A₁A²-2A₁A•A₁Bcos∠AA₁B，
即 1=

2

4

+1-2×1×

2

2

cos∠AA₁B，∴cos∠AA₁B=

2

4

．
由题意可得∠AA₁B即为异面直线A₁B与CC₁所成的角，
故选 D．

点评：本题考查异面直线所成的角的定义，勾股定理、余弦定理的应用，求出A₁B的长度是解题的关键，属于中档题．