题目内容
12．已知⊙O：x2+y2=8，P是⊙O上在第一象限的一点，过点P作⊙O的切线与x轴，y轴的正半轴围成一个三角形，当三角形的面积最小时，切点为P1，椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$且过点P1．（1）试求椭圆C的方程；
（2）过M（-1，0）作直线l与椭圆C交于A、B两点，且椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，△F1AF2，△F1BF2的面积分别为S1，S2，试确定|S1-S2|取值范围．
分析 （1）由题意，设切线与x轴，y轴的交点为（0，c），（d，0），从而可得cd=2$\sqrt{2}$$\sqrt{{c}^{2}+{d}^{2}}$≥2$\sqrt{2}$$\sqrt{2cd}$，从而求得切点P1（2，2）；从而写出椭圆的方程；
（2）设直线MA的方程为x+1=ky，A（x1，y1），B（x2，y2）；从而可得|S1-S2|=$\sqrt{6}$•|y1+y2|，从而联立方程，利用韦达定理求解．
解答 
解：（1）由题意，设切线与x轴，y轴的交点为（0，c），（d，0），
则cd=2$\sqrt{2}$$\sqrt{{c}^{2}+{d}^{2}}$≥2$\sqrt{2}$$\sqrt{2cd}$，
（当且仅当c=d=4时，等号成立），
故cd≥16，而S=$\frac{1}{2}$cd，
故三角形的面积最小时，切点P1（2，2）；
∵椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴a2=2b2，
故$\frac{4}{2{b}^{2}}$+$\frac{4}{{b}^{2}}$=1，
故b2=6，a2=12；
故椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{12}$+$\frac{{y}^{2}}{6}$=1；
（2）设直线MA的方程为x+1=ky，A（x1，y1），B（x2，y2）；
则|S1-S2|=||$\frac{1}{2}$•|F1F2|•|y1|-$\frac{1}{2}$|F1F2|•|y2||
=$\frac{1}{2}$|F1F2|•||y1|-|y2||
=$\sqrt{6}$•|y1+y2|，
联立方程可得，
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{y}^{2}}{6}=1}\\{x=ky-1}\end{array}\right.$，
化简可得，（2k2+2）y2-2ky-11=0，
则|y1+y2|=|$\frac{2k}{2{k}^{2}+2}$|=|$\frac{k}{{k}^{2}+1}$|≤$\frac{1}{2}$，
故0≤|y1+y2|≤$\frac{1}{2}$，
故0≤$\sqrt{6}$|y1+y2|≤$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
即0≤|S1-S2|≤$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
即|S1-S2|的取值范围为[0，$\frac{\sqrt{6}}{2}$]．
点评 本题考查了圆锥曲线与直线的位置关系的应用，同时考查了数形结合的思想应用，属于中档题．
| A． | an+1＞an | B． | an+1≥an | C． | an+1＜an | D． | an+1≤an |
| A． | 4 | B． | 5 | C． | 4$\sqrt{2}$ | D． | 6 |
| A． | {-1，0} | B． | {-1，0，1} | C． | {-2，-1，0} | D． | {-2，-1，1} |
| A． | $\frac{4}{5}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{3}{5}$$\overrightarrow{b}$ | B． | $\frac{3}{5}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{4}{5}$$\overrightarrow{b}$ | C． | $\frac{5}{6}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{b}$ | D． | $\frac{2}{3}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{5}{6}$$\overrightarrow{b}$ |