Question

2．已知α为锐角，且$tanα=\sqrt{2}-1$，函数$f（x）={x^2}tan2α+x•sin（2α+\frac{π}{4}）$，数列{a_n}的首项${a_1}=\frac{1}{2}\;，\;{a_{n+1}}=f（{a_n}）$，则有（　　）

• A． a_n+1＞a_n
• B． a_n+1≥a_n
• C． a_n+1＜a_n
• D． a_n+1≤a_n

Answer 1

分析 利用二倍角的正切可求得tan2α=1，α为锐角，可求得sin（2α+$\frac{π}{4}$）=1，于是可知函数f（x）的表达式，由数列{a_n}的首项${a_1}=\frac{1}{2}\;，\;{a_{n+1}}=f（{a_n}）$，可得
a_n+1=a_n²+a_n，即a_n+1-a_n=a_n²＞0，问题得以解决．

解答 解：∵为锐角，且$tanα=\sqrt{2}-1$，
∴tan2α=$\frac{2tanα}{1-ta{n}^{2}α}$=$\frac{2（\sqrt{2}-1）}{1-（\sqrt{2}-1）^{2}}$=1，
∴2α=$\frac{π}{4}$，
∴sin（2α+$\frac{π}{4}$）=1，
∴f（x）=x²+x，
∵数列{a_n}的首项${a_1}=\frac{1}{2}\;，\;{a_{n+1}}=f（{a_n}）$，
∴a_n+1=a_n²+a_n，
∴a_n+1-a_n=a_n²＞0，
∴a_n+1＞a_n，
故选：A．

点评 本题考查数列的综合应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意正切二倍角公式和数列递推公式的合理运用．