Question

11．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面ABB₁A₁，ACC₁A₁均为正方形，AB=AC=1，∠BAC=90，点D是棱B₁C₁的中点．
（1）求证：AB₁∥平面A₁DC；
（2）求证：A₁D⊥平面BB₁C₁C．

Answer 1

分析 （1）连结AC₁交A₁C于O点，连结OD，由中位线定理可得OD∥AB₁，故而AB₁∥平面A₁DC；
（2）由正方形的性质得出A₁A⊥A₁C₁，A₁A⊥A₁B₁，故A₁A⊥平面A₁B₁C₁，于是CC₁⊥平面A₁B₁C₁，得出CC₁⊥A₁D．又三线合一得出A₁D⊥B₁C₁，故而A₁D⊥平面BB₁C₁C．

解答 证明：（1）连结AC₁交A₁C于O点，连结OD，
∵四边形AA₁C₁C是正方形，∴O是AC₁的中点，
又点D是棱B₁C₁的中点，
∴OD∥AB₁，∵AB₁?平面A₁DC，OD?平面A₁DC，
∴AB₁∥平面A₁DC．
（2）∵侧面ABB₁A₁，ACC₁A₁均为正方形，
∴A₁A⊥A₁C₁，A₁A⊥A₁B₁，又A₁C₁?平面A₁B₁C₁，A₁B₁?平面A₁B₁C₁，A₁B₁∩A₁C₁=A₁，
∴A₁A⊥平面A₁B₁C₁，∵AA₁∥CC₁，
∴CC₁⊥平面A₁B₁C₁，∵A₁D?平面A₁B₁C₁，
∴CC₁⊥A₁D．
又∵A₁B₁=AB=1，A₁C₁=AC=1，
∴A₁B₁=A₁C₁，∵D是B₁C₁的中点，
∴A₁D⊥B₁C₁，
又CC₁?平面BCC₁B₁，B₁C₁?平面BCC₁B₁，CC₁∩B₁C₁=C₁，
∴A₁D⊥平面BCC₁B₁．

点评 本题考查了线面平行与垂直的判定，构造平行线或垂线是证明问题的关键，需要掌握几种常用的构造方法．